El maestro Carl Sagan nos habla de Eratostenes
lunes
Tarea 2: midiendo alturas
En esta tarea tendrás que medir la altura de una torre, una montaña,....que se asigne a tu grupo. Deberás medir la altura mediante diferentes métodos. Mientras más métodos diferentes uses mejor.
Tendrás que hacer el correspondiente cálculo de errores y acotarlos. Y utilizar los instrumentos de medida adecuados.
Tales y las pirámides.
Cuentas que un sacerdote egipcio le preguntó a Tales cuál podía ser la altura de la pirámide de Keops. Tales reflexiona y a continuación contesta que no se conforma con calcularla a ojo, pero que la medirá sin ayuda de ningún instrumento. Se echa sobre la arena y determina la longitud de su propio cuerpo. Los egipcios le preguntan qué es lo que está pensando, y Tales les explica: "Me pondré simplemente en un extremo de esta línea, que mide la longitud de mi cuerpo, y esperaré hasta que mi sombra sea igual de larga. En ese instante , la sombra de la pirámide también ha de medir tantos pasos como la altura de la pirámide." Y como el sacerdote, desorientado por la extrema sencillez de la solución, se pregunta si acaso no hay algún error, algún sofisma,Tales añade: "Pero si queréis que os mida esa altura, a cualquier hora, clavaré en la arena mi bastón".
Esquema geométrico.
Observa la semejanza entre los triángulos.
Esta medida ¿La podemos hacer en cualquier día del año? ¿Tiene que tener la pirámide alguna orientación concreta? Investiga y añade los resultados que encuentres a las conclusiones que redactes en el informe científico / descriptivo que tienes que entregar.
Otro método de medida atribuido a Euclides para medir alturas hace uso de un espejo.
Más información.
Con tres esquinitas de nada.
Tendrás que hacer el correspondiente cálculo de errores y acotarlos. Y utilizar los instrumentos de medida adecuados.
Tales y las pirámides.
Cuentas que un sacerdote egipcio le preguntó a Tales cuál podía ser la altura de la pirámide de Keops. Tales reflexiona y a continuación contesta que no se conforma con calcularla a ojo, pero que la medirá sin ayuda de ningún instrumento. Se echa sobre la arena y determina la longitud de su propio cuerpo. Los egipcios le preguntan qué es lo que está pensando, y Tales les explica: "Me pondré simplemente en un extremo de esta línea, que mide la longitud de mi cuerpo, y esperaré hasta que mi sombra sea igual de larga. En ese instante , la sombra de la pirámide también ha de medir tantos pasos como la altura de la pirámide." Y como el sacerdote, desorientado por la extrema sencillez de la solución, se pregunta si acaso no hay algún error, algún sofisma,Tales añade: "Pero si queréis que os mida esa altura, a cualquier hora, clavaré en la arena mi bastón".
Esquema geométrico.
Observa la semejanza entre los triángulos.
Esta medida ¿La podemos hacer en cualquier día del año? ¿Tiene que tener la pirámide alguna orientación concreta? Investiga y añade los resultados que encuentres a las conclusiones que redactes en el informe científico / descriptivo que tienes que entregar.
Otro método de medida atribuido a Euclides para medir alturas hace uso de un espejo.
Más información.
Con tres esquinitas de nada.
viernes
Midamos el Mundo
DESCRIPCIÓN METODOLÓGICA DE LA TAREA (cómo
y para qué):
El cálculo de Eratóstenes se basa en la
proporción de dos medidas de dos observadores, una angular (diferencia de
altura del Sol en el momento del tránsito por el meridiano) y otra lineal (que
puede ser la distancia entre los observadores o la distancia de cada uno de
ellos a una referencia común, por ejemplo el Ecuador). Esta medida se ha de
expresar en unidades de longitud (Eratóstenes midió en estadios, en la experiencia
se hará en kilómetros).
El instrumento básico a utilizar para la medida de ángulos es el gnomon, un
palo o estilo vertical que proyecta la sombra sobre una superficie horizontal.
En vez de medir directamente la longitud de la sombra se ha preferido proponer
el registro de la evolución de la sombra marcando sobre un trozo de papel
grueso (papel de embalaje) extendido sobre el suelo el extremo de la sombra y
anotando al lado de cada marca la hora en que se realizó.
Este lienzo de papel deberá tener las dimensiones adecuadas para que quepan en
él el propio gnomon y la trayectoria del extremo de la sombra. Antes de dar por
finalizada la experiencia deberá marcarse la posición del gnomon. Esta forma de
proceder tiene la ventaja de conservar un registro que puede ser objeto de
medida y cálculo por parte de distintos grupos de personas
Para poder registrar la posición del gnomon es preferible que este sea de quita
y pon. Un elemento del menaje de hogar que puede ser usado (y es sumamente
barato) es un recogedor.
Para el registro de las sombras puede usarse un trozo de papel de embalar, que
se vende en papelerías por rollos. El de 1 m de anchura es suficiente. Si se
previesen unas sombras muy largas (en invierno) podría ser conveniente o bien
acortar el palo del recogedor o duplicar la anchura del papel de registro
juntando dos tiras de papel con cinta adhesiva o proveerse de un rollo de mayor
anchura
Con este registro se determina el ángulo altura del Sol sobre el horizonte en
el momento de su paso por el meridiano del lugar de observación. Puede hacerse
por Trigonometría. También puede hacerse simplemente dibujando un triángulo
rectángulo cuyos catetos sean iguales o proporcionales a la altura del gnomon y
a la longitud de la sombra y midiendo el ángulo con un semicírculo
graduado. O finalmente, las escuelas de alumnos más pequeños pueden
simplemente comunicar estas dos medidas, altura del gnomon y longitud de la
sombra.
La segunda medida a comunicar es una distancia lineal. Se propone obtenerla con
regla milimetrada sobre un mapa, seguida de los cálculos adecuados de escala.
Se ha preferido este método al también posible a partir de la latitud del lugar
de observación. Posiblemente se hace más evidente el carácter de medida lineal.
La tradición dice que Eratóstenes estimó esta medida enviando a un esclavo (Abdul) a recorrer el camino en línea
recta de Alejandría a Assuán contando los pasos.
miércoles
¡Qué es un gnomon?
Además de ser la herramienta
fundamental con la que Eratóstenes determinó el radio de la Tierra, es parte
básica de un reloj de Sol
Para la tarea de la Medida
del Radio de la Tierra, utilizaremos un
gnomon de quita y pon: una pala para recoger basura es práctica, aunque se
pueden elegir una infinidad de gnomon
Es importante que proyecte
una sombra bien definida, que el extremo de la sombra no se desdibuje
excesivamente en la penumbra, sobre la superficie horizontal. Esta condición
está relacionada con las medidas del gnomon. Un gnomon de entre 60 cm y un
metro de altura y un diámetro mínimo de 3 o 4 cm da buenos resultados.
martes
¿Quién fue Eratóstenes?
En el año 236 a. C.,
Ptolomeo III le llamó para que se hiciera cargo de la Biblioteca de Alejandría,
puesto que ocupó hasta el fin de sus días.
Eratóstenes poseía una gran
variedad de conocimientos y aptitudes para el estudio. Astrónomo, poeta,
geógrafo y filósofo, su apellido fue Pentathlos, nombre que se reservaba al
atleta vencedor en las cinco competiciones de los Juegos Olímpicos. Afirman que
también era conocido como el segundo Platón y diversos autores dicen que se le
daba el sobrenombre de Beta, por la segunda letra del alfabeto griego, porque
ocupó el segundo lugar en todas las ramas de la ciencia que cultivó. Pero hemos
de reconocer que fue muy grande.
lunes
¿Qué Observó?
 |
Se dio cuenta de que las sombras
proyectadas por objetos de la misma altura sobre una superficie plana, iluminados
por el Sol (o por un foco luminoso muy lejano), son de la misma longitud. En
cambio las sombras proyectadas por objetos de la misma altura sobre una
superficie esférica no tienen la misma longitud.
Podemos ponerlo de manifiesto con
unos clavitos adheridos a un globo terráqueo, unos palillos clavados en una
bola de Porexpan, o una superficie
combada de cierta flexibilidad sobre la
que se han clavado unos vástagos
iguales. Con pequeño esfuerzo la lámina se comba mostrándose las diferentes
longitudes de la sombra.
domingo
Relación entre la diferencia de longitud de la sombra, para lugares situados en el mismo meridiano
El
ángulo β, ángulo que forman los rayos con la vertical del lugar, se puede medir
directamente o calcular a partir de la longitud de la sombra. Este ángulo es
igual al ángulo α , formado en el centro de la Tierra O, por los radios
dirigidos a los puntos C y A1
Los
puntos C y A1 corresponden a las ciudades de Asuán (o Siena) donde los rayos
del Sol inciden perpendicularmente al suelo y Alejandría, lugar de residencia
de Eratóstenes y lugar donde realizó la medida angular.
Las
fuentes dicen que Eratóstenes estimó el ángulo β en un valor de 1/50 de
circunferencia.
El
arco de meridiano entre ambas ciudades se midió contando los pasos de un
caminante, Abdul, yendo de una a otra ciudad. En la literatura se encuentran
distintos valores del resultado y distintos valores de la unidad un estadio en
nuestras medidas actuales de longitud. La medida que utilizó fue el “estadio”.
Hoy no sabemos exactamente a cuántos metros equivale, pero si sabemos que la distancia
es de unos 800 kilómetros.
sábado
Cálculo a partir de las medidas de dos observadores situados en un mismo meridiano
Dos
observadores y las medidas de los dos
observadores situados en un mismo meridiano. No hace falta que uno de ellos
esté en latitud inferior a la del Trópico para que los rayos sean
perpendiculares al suelo en su lugar de observación.
En este caso
cada observador deberá determinar el ángulo que forma el Sol con la vertical de
su lugar de observación (o el complementario, altura del Sol sobre el
horizonte) en el momento del tránsito por el meridiano.
En la Figura
2 se puede ver que, para cada observador se cumple la siguiente relación entre
los diferentes ángulos
ϕ = Dec +
α [I]
siendo ϕ la latitud del lugar de observación, α el
ángulo que forman los rayos del Sol con la vertical del lugar, y Dec la
declinación del Sol en el momento de la observación, coincidente para ambos
observadores y correspondiente al instante de paso del Sol por el meridiano
común.
Reescribiendo
la expresión anterior para dos observadores (indicados mediante subíndices 1 y
2) y restando ambas expresiones se tiene
ϕ1 − ϕ2 = α1
− α2 [II]
O sea, la
medida angular del arco que separa dos ambos observadores equivale a la
diferencia de los ángulos que en cada uno de los lugares forman los rayos del
Sol con la vertical del lugar.
Por otra
parte habrá que medir la distancia lineal (en kilómetros) entre ambos
observadores. Se puede hacer sobre un mapa.
El cociente
de ambas medidas da el resultado deseado: Dividiendo la distancia en kilómetros
entre la distancia angular se obtiene la proporción kilómetros/grado, y de aquí
se obtiene (multiplicando por 360º) la circunferencia de la Tierra y de aquí
(dividiendo entre 2 pi) el Radio de la Tierra.
viernes
¿Y si no estamos en el mismo meridiano?
La
expresión [I] del apartado anterior
sigue siendo válida.
La
expresión [II], obtenida de la resta de la expresión [I] para cada uno de los
observadores solamente será válida si consideramos que no se ha modificado la
Declinación del Sol en el intervalo de tiempo transcurrido entre ambas
observaciones.
En
principio se podrá considerar que esta condición se cumple cuando las medidas
se realizan un mismo día, porque la variación de la Declinación del Sol,
durante unas pocas horas transcurridas entra ambas medidas es inferior a la
incertidumbre de las medidas realizadas con instrumentos sencillos.
En
cuanto a la separación lineal entre ambos observadores, deberá sustituirse por
la distancia entre los paralelos que pasan por cada uno de los lugares de observación.
Una forma alternativa y más sencilla es estimar, para cada uno de ellos, la
distancia a un paralelo de referencia y calcular luego la diferencia.
Para
conseguir buenos resultados es conveniente formar pares de observadores con la
mayor distancia posible entre ellos en la dirección Norte-Sur. Para distancias
de unos pocos centenares de kilómetros es posible que los errores inherentes a
la medida de la sombra den un margen de error grande en el resultado final.
Vídeo de cómo lo hicieron en el Año Internacional de la Astronomía
Vídeo de cómo lo hicieron en el Año Internacional de la Astronomía
sábado
Estadística y política
En esta actividad estadística veremos el sistema d'Hondt como un procedimiento de conversión de votos en escaños, creado por Victor d'Hondt, que se caracteriza por dividir a través de distintos divisores los totales de los votos obtenidos por los distintos partidos, produciéndose secuencias de cocientes decrecientes para cada partido y asignándose los escaños a los promedios más altos.
Supongamos unas elecciones a las que se presentan cinco partidos, entre los que deben repartirse siete escaños.
Antes de empezar la asignación de escaños hace falta dibujar una tabla de 7 filas (número de escaños) por 5 columnas (número de partidos). En la primera fila escribimos el número total de votos recibidos por cada partido (divisor 1). Es preferible ordenar los partidos por número de votos, así se simplificarán las siguientes fases del algoritmo que ejemplificamos en la tabla:
Como podemos apreciar que el reparto de escaños no se corresponde al que surgiría de una asignación simple mediante, por ejemplo, una "regla de tres".
(Fuente Wikipedia)
Más información y casos prácticos en:
Pseudoblog
Hipertextual
Supongamos unas elecciones a las que se presentan cinco partidos, entre los que deben repartirse siete escaños.
| Partido A | Partido B | Partido C | Partido D | Partido E | |
|---|---|---|---|---|---|
| Votos | 340 000 | 280 000 | 160 000 | 60 000 | 15 000 |
| Partido A | Partido B | Partido C | Partido D | Partido E | |
|---|---|---|---|---|---|
| Votos | 340 000 | 280 000 | 160 000 | 60 000 | 15 000 |
| Escaño 1 | (340 000/1 =) 340 000 | (280 000/1 =) 280 000 | (160 000/1 =) 160 000 | (60 000/1 =) 60 000 | (15 000/1 =) 15 000 |
| Escaño 2 | (340 000/2 =) 170 000 | (280 000/1 =) 280 000 | (160 000/1 =) 160 000 | (60 000/1 =) 60 000 | (15 000/1 =) 15 000 |
| Escaño 3 | (340 000/2 =) 170 000 | (280 000/2 =) 140 000 | (160 000/1 =) 160 000 | (60 000/1 =) 60 000 | (15 000/1 =) 15 000 |
| Escaño 4 | (340 000/3 =) 113 333 | (280 000/2 =) 140 000 | (160 000/1 =) 160 000 | (60 000/1 =) 60 000 | (15 000/1 =) 15 000 |
| Escaño 5 | (340 000/3 =) 113 333 | (280 000/2 =) 140 000 | (160 000/2 =) 80 000 | (60 000/1 =) 60 000 | (15 000/1 =) 15 000 |
| Escaño 6 | (340 000/3 =) 113 333 | (280 000/3 =) 93 333 | (160 000/2 =) 80 000 | (60 000/1 =) 60 000 | (15 000/1 =) 15 000 |
| Escaño 7 | (340 000/4 =) 85 000 | (280 000/3 =) 93 333 | (160 000/2 =) 80 000 | (60 000/1 =) 60 000 | (15 000/1 =) 15 000 |
| Total de cargos electos | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 |
| % votos | 40% | 33% | 19% | 7% | 2% |
| % escaños | 43% | 43% | 14% | 0% | 0% |
(Fuente Wikipedia)
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