1.- Midamos el Mundo

Midamos el Mundo.
En este experimento mediremos el tamaó del Mundo tal y como lo hizo el científico Eratóstenes hace unos dos mil años en Alejandría.
Lista de enlaces.
En palabras de Carl Sagan
¿Quien fue Eratóstenes?
¿Qué es un gnomon?
¿Qué observó?
Descripción de la Tarea
Video en el que se describe qué es lo que tenemos que hacer
¿Cómo midió Eratostenes?

Carl Sagan nos lo cuenta

El maestro Carl Sagan nos habla de Eratostenes

Midiendo alturas con Tales

En esta tarea tendrás que medir la altura de una torre, una montaña,....que se asigne a tu grupo. Deberás medir la altura mediante diferentes métodos. Mientras más métodos diferentes uses mejor.
Tendrás que hacer el correspondiente cálculo de errores y acotarlos. Y utilizar los instrumentos de medida adecuados.


Tales y las pirámides.

Cuentas que un sacerdote egipcio le preguntó a Tales cuál podía ser la altura de la pirámide de Keops. Tales reflexiona y a continuación contesta que no se conforma con calcularla a ojo, pero que la medirá sin ayuda de ningún instrumento. Se echa sobre la arena y determina la longitud de su propio cuerpo. Los egipcios le preguntan qué es lo que está pensando, y Tales les explica: "Me pondré simplemente en un extremo de esta línea, que mide la longitud de mi cuerpo, y esperaré hasta que mi sombra sea igual de larga. En ese instante , la sombra de la pirámide  también ha de medir tantos pasos como la altura de la pirámide." Y como el sacerdote, desorientado por la extrema sencillez de la solución, se pregunta si acaso no hay algún error, algún sofisma,Tales añade: "Pero si queréis que os mida esa altura, a cualquier hora, clavaré en la arena mi bastón".

Esquema geométrico.
Observa la semejanza entre los triángulos.

Esta medida ¿La podemos hacer en cualquier día del año? ¿Tiene que tener la pirámide alguna orientación concreta? Investiga y añade los resultados que encuentres a las conclusiones que redactes en el informe científico / descriptivo que tienes que entregar.

Otro método de medida atribuido a Euclides para medir alturas hace uso de un espejo.

Más información.
Con tres esquinitas de nada.

Midamos el Mundo

DESCRIPCIÓN METODOLÓGICA DE LA TAREA (cómo y para qué):

El cálculo de Eratóstenes se basa en la proporción de dos medidas de dos observadores, una angular (diferencia de altura del Sol en el momento del tránsito por el meridiano) y otra lineal (que puede ser la distancia entre los observadores o la distancia de cada uno de ellos a una referencia común, por ejemplo el Ecuador). Esta medida se ha de expresar en unidades de longitud (Eratóstenes midió en estadios, en la experiencia se hará en kilómetros). 

El instrumento básico a utilizar para la medida de ángulos es el gnomon, un palo o estilo vertical que proyecta la sombra sobre una superficie horizontal.

En vez de medir directamente la longitud de la sombra se ha preferido proponer el registro de la evolución de la sombra marcando sobre un trozo de papel grueso (papel de embalaje) extendido sobre el suelo el extremo de la sombra y anotando al lado de cada marca la hora en que se realizó.

Este lienzo de papel deberá tener las dimensiones adecuadas para que quepan en él el propio gnomon y la trayectoria del extremo de la sombra. Antes de dar por finalizada la experiencia deberá marcarse la posición del gnomon. Esta forma de proceder tiene la ventaja de conservar un registro que puede ser objeto de medida y cálculo por parte de distintos grupos de personas  

Para poder registrar la posición del gnomon es preferible que este sea de quita y pon. Un elemento del menaje de hogar que puede ser usado (y es sumamente barato) es un recogedor.

Para el registro de las sombras puede usarse un trozo de papel de embalar, que se vende en papelerías por rollos. El de 1 m de anchura es suficiente. Si se previesen unas sombras muy largas (en invierno) podría ser conveniente o bien acortar el palo del recogedor o duplicar la anchura del papel de registro juntando dos tiras de papel con cinta adhesiva o proveerse de un rollo de mayor anchura  

Con este registro se determina el ángulo altura del Sol sobre el horizonte en el momento de su paso por el meridiano del lugar de observación. Puede hacerse por Trigonometría. También puede hacerse simplemente dibujando un triángulo rectángulo cuyos catetos sean iguales o proporcionales a la altura del gnomon y a la longitud de la sombra y midiendo el ángulo con un semicírculo graduado.  O finalmente, las escuelas de alumnos más pequeños pueden simplemente comunicar estas dos medidas, altura del gnomon y longitud de la sombra.

La segunda medida a comunicar es una distancia lineal. Se propone obtenerla con regla milimetrada sobre un mapa, seguida de los cálculos adecuados de escala. Se ha preferido este método al también posible a partir de la latitud del lugar de observación. Posiblemente se hace más evidente el carácter de medida lineal. 

La tradición dice que Eratóstenes estimó esta medida enviando a un esclavo  (Abdul) a recorrer el camino en  línea recta de Alejandría a Assuán contando los pasos.

¡Qué es un gnomon?

Un gnomon es un palo  vertical que proyecta su sombra sobre una superficie horizontal.

Además de ser la herramienta fundamental con la que Eratóstenes determinó el radio de la Tierra, es parte básica de un reloj de Sol

Para la tarea de la Medida del Radio de la Tierra,  utilizaremos un gnomon de quita y pon: una pala para recoger basura es práctica, aunque se pueden elegir una infinidad de gnomon

Es importante que proyecte una sombra bien definida, que el extremo de la sombra no se desdibuje excesivamente en la penumbra, sobre la superficie horizontal. Esta condición está relacionada con las medidas del gnomon. Un gnomon de entre 60 cm y un metro de altura y un diámetro mínimo de 3 o 4 cm da buenos resultados.

¿Quién fue Eratóstenes?

Eratóstenes (Cirene, 276 a. C. - Alejandría, 194 a. C.) fue un matemático, astrónomo y geógrafo griego, de origen cirenaico.

En el año 236 a. C., Ptolomeo III le llamó para que se hiciera cargo de la Biblioteca de Alejandría, puesto que ocupó hasta el fin de sus días.

Eratóstenes poseía una gran variedad de conocimientos y aptitudes para el estudio. Astrónomo, poeta, geógrafo y filósofo, su apellido fue Pentathlos, nombre que se reservaba al atleta vencedor en las cinco competiciones de los Juegos Olímpicos. Afirman que también era conocido como el segundo Platón y diversos autores dicen que se le daba el sobrenombre de Beta, por la segunda letra del alfabeto griego, porque ocupó el segundo lugar en todas las ramas de la ciencia que cultivó. Pero hemos de reconocer que fue muy grande.

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¿Qué Observó?

Eratóstenes, como observador atento, describió un fenómeno que le llamó la atención, la incidencia de la luz del Sol en el fondo de un pozo, en determinados días del año en Asuán, al sur de Egipto. Eratóstenes, sabedor de la noticia, sabía que esto no pasaba nunca en Alejandría, su ciudad. Dio crédito al observador, encontró una explicación del hecho y se dio cuenta de que podía ser usado para calcular las dimensiones de la Tierra.

Se dio cuenta de que las sombras proyectadas por objetos de la misma altura sobre una superficie plana, iluminados por el Sol (o por un foco luminoso muy lejano), son de la misma longitud. En cambio las sombras proyectadas por objetos de la misma altura sobre una superficie esférica no tienen la misma longitud.

Podemos ponerlo de manifiesto con unos clavitos adheridos a un globo terráqueo, unos palillos clavados en una bola de Porexpan,  o una superficie combada de cierta flexibilidad  sobre la que se han clavado unos  vástagos iguales. Con pequeño esfuerzo la lámina se comba mostrándose las diferentes longitudes de la sombra.

Relación entre la diferencia de longitud de la sombra, para lugares situados en el mismo meridiano

La circunferencia de centro en O es un corte de la esfera Tierra. En el punto C los rayos del Sol inciden perpendiculares al suelo, de forma que un objeto vertical no proyecta sombra. En el punto A1, el objeto A1B proyecta la sombra A1A2.

El ángulo β, ángulo que forman los rayos con la vertical del lugar, se puede medir directamente o calcular a partir de la longitud de la sombra. Este ángulo es igual al ángulo α , formado en el centro de la Tierra O, por los radios dirigidos a los puntos C y A1

Los puntos C y A1 corresponden a las ciudades de Asuán (o Siena) donde los rayos del Sol inciden perpendicularmente al suelo y Alejandría, lugar de residencia de Eratóstenes y lugar donde realizó la medida angular.

Las fuentes dicen que Eratóstenes estimó el ángulo β en un valor de 1/50 de circunferencia.

El arco de meridiano entre ambas ciudades se midió contando los pasos de un caminante, Abdul, yendo de una a otra ciudad. En la literatura se encuentran distintos valores del resultado y distintos valores de la unidad un estadio en nuestras medidas actuales de longitud. La medida que utilizó fue el “estadio”. Hoy no sabemos exactamente a cuántos metros equivale, pero si sabemos que la distancia es de unos 800 kilómetros.

Cálculo a partir de las medidas de dos observadores situados en un mismo meridiano

Dos observadores y  las medidas de los dos observadores situados en un mismo meridiano. No hace falta que uno de ellos esté en latitud inferior a la del Trópico para que los rayos sean perpendiculares al suelo en su lugar de observación.

En este caso cada observador deberá determinar el ángulo que forma el Sol con la vertical de su lugar de observación (o el complementario, altura del Sol sobre el horizonte) en el momento del tránsito por el meridiano.

En la Figura 2 se puede ver que, para cada observador se cumple la siguiente relación entre los diferentes ángulos

ϕ = Dec + α  [I]

siendo ϕ  la latitud del lugar de observación, α el ángulo que forman los rayos del Sol con la vertical del lugar, y Dec la declinación del Sol en el momento de la observación, coincidente para ambos observadores y correspondiente al instante de paso del Sol por el meridiano común.

Reescribiendo la expresión anterior para dos observadores (indicados mediante subíndices 1 y 2) y restando ambas expresiones se tiene

ϕ1 − ϕ2   =  α1 − α2     [II]

O sea, la medida angular del arco que separa dos ambos observadores equivale a la diferencia de los ángulos que en cada uno de los lugares forman los rayos del Sol con la vertical del lugar.

Por otra parte habrá que medir la distancia lineal (en kilómetros) entre ambos observadores. Se puede hacer sobre un mapa.

El cociente de ambas medidas da el resultado deseado: Dividiendo la distancia en kilómetros entre la distancia angular se obtiene la proporción kilómetros/grado, y de aquí se obtiene (multiplicando por 360º) la circunferencia de la Tierra y de aquí (dividiendo entre 2 pi) el Radio de la Tierra.

¿Y si no estamos en el mismo meridiano?

La expresión [I]  del apartado anterior sigue siendo válida.

La expresión [II], obtenida de la resta de la expresión [I] para cada uno de los observadores solamente será válida si consideramos que no se ha modificado la Declinación del Sol en el intervalo de tiempo transcurrido entre ambas observaciones.

En principio se podrá considerar que esta condición se cumple cuando las medidas se realizan un mismo día, porque la variación de la Declinación del Sol, durante unas pocas horas transcurridas entra ambas medidas es inferior a la incertidumbre de las medidas realizadas con instrumentos sencillos.

En cuanto a la separación lineal entre ambos observadores, deberá sustituirse por la distancia entre los paralelos que pasan por cada uno de los lugares de observación. Una forma alternativa y más sencilla es estimar, para cada uno de ellos, la distancia a un paralelo de referencia y calcular luego la diferencia.

Para conseguir buenos resultados es conveniente formar pares de observadores con la mayor distancia posible entre ellos en la dirección Norte-Sur. Para distancias de unos pocos centenares de kilómetros es posible que los errores inherentes a la medida de la sombra den un margen de error grande en el resultado final.

Vídeo de cómo lo hicieron en el Año Internacional de la Astronomía